1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍 。4.做正十七边形 。
以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解 ， 而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的 。第四个问题是高斯用代数的方法解决的 ， 他也视此为生平得意之作 ， 还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上 ， 但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形 ， 而是十七角星 ， 因为负责刻碑的雕刻家认为 ， 正十七边形和圆太像了 ， 大家一定分辨不出来 。
九：哥德巴赫猜想 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler) ， 提出了以下的猜想: (a)
任何一个>=6之偶数 ， 都可以表示成两个奇质数之和 。(b) 任何一个>=9之奇数 ， 都可以表示成三个奇质数之和 。
从此 ， 这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意 。200年过去了 ， 没有人证明它 。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠” 。
十：四色猜想
1852年 ， 毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时 ， 发现了一种有趣的现象：“看来 ， 每幅地图都可以用四种颜色着色 ， 使得有共同边界的国家着上不同的颜色 。”
1872年 ， 英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题 ， 于是四色猜想成了世界数学界关注的问题 。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。
1976年 ， 美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上 ， 用了1200个小时 ， 作了100亿判断 ， 终于完成了四色定理的证明 。四色猜想的计算机证明 ， 轰动了世界 。
“千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法 。基本想法是问在怎样的程度上 ， 我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成 。这种技巧是变得如此有用 ， 使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具 ， 使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展 。不幸的是 ， 在这一推广中 ， 程序的几何出发点变得模糊起来 。在某种意义下 ， 必须加上某些没有任何几何解释的部件 。霍奇猜想断言 ， 对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说 ， 称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合 。
“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想
- 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带 ， 那么我们可以既不扯断它 ， 也不让它离开表面 ， 使它慢慢移动收缩为一个点 。另一方面 ， 如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上 ， 那么不扯断橡皮带或者轮胎面 ， 是没有办法把它收缩到一点的 。我们说 ， 苹果表面是“单连通的” ， 而轮胎面不是 。大约在一百年以前 ， 庞加莱已经知道 ， 二维球面本质上可由单连通性来刻画 ， 他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题 。这个问题立即变得无比困难 ， 从那时起 ， 数学家们就在为此奋斗 。
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