代数基本定理零点定理证明( 三 ) _云知道

事实上，用到棣莫弗公式：

辅助变量t和u存在的合理性在1799年的论文中已被证明，第三次证明确实处于与他的第一个证明相似的条件下。接下来，高斯直接给出函数：

论文并没有给出y的推导过程，后来数学界对函数y提出两种不同的构造方法，其中方法之一是取决于反正切函数：

高斯的第三次证明本质上是从反正切函数?开始的。实际上，从拉梅证明的一个定理中发现，我们可以从对数函数：

出发构造复杂函数y，令θ=logr，β是t和u的函数，则：

从而得出：

因此，这两个量满足方程：

二次求偏导的值恰好是：

高斯在第三次证明的脚注中解释了确定最后一个积分的方法：
要使用它是不言自明的，此外，不定积分很容易用理解为：

?它可以从另一个来源证实，该值必须确定为φ = 360°，或扩展为?n× 360°，即2?nπ，然而，这是没有必要的计划。
高斯试图说明使他产生矛盾的假设，但是他想表明的是没有必要，即使这样，多值函数当时已经被高斯仔细考虑过了，?n次有理函数?f（x）的圆弧在围绕零点足够大的圆上旋转时，

将经历2nπ的变化，高斯1811年与贝塞尔的通信中分析了对数函数：
?如果通过：

定义logx，从x=1开始，则到达logx时，不包括点x=0或者多次绕过它；每次添加常量或-2πi 。
可见，通过圆的圆周时，logx的变化为2nπi，无论是?反正切函数或?对数函数都可以在遵循高斯原始思想的前提下，证明代数基本定理。
接着同高斯一样把证明代数基本+2πi定理的证明转化成考察二重积分次序的问题，积分的值与积分次序无关，最后所得结果应该一致，如果能找到一个可微函数y，使得积分的值因积分顺序不同而不同，与原假设产生矛盾，基本定理得到了证明。