代数基本定理零点定理证明( 四 ) _云知道

?计算二重积分：

积分区域是半径为?R，圆心在原点处的一个圆，R对应于1799 年证明中找到曲线交点的圆的半径，先从0到2π对φ积分，积分值：

调换积分次序，高斯引入辅助定义：

R?是一个足够大的正实数，满足：

R?的选取可以保证T，U，T'，U'都是正数。如果r=R，得出函数t^2+u^2的值是?T^2+U^2，tt'+uu'的值是TT'+UU'，因此是正的。如果假设积分从r=0 扩展到r=R，对于φ的任何确定的实数值，得到：

而：

所以产生矛盾。
高斯在第三次证明中未对函数y的构造提供解释，将此定理的证明转换成积分与路径无关的问题，主要归结为曲线积分与路线无关的问题，而线积分与路线无关的条件与线积分沿任一简单闭曲线的值都为 0 的条件相同，于是可以归结为研究沿任一简单闭曲线积分值为0的条件，就是现代数学教材中的柯西积分定理，高斯 1811年给贝塞尔的信件中写道：
现在我断言积分只有一个值，即使是通过不同的路径，只要在两条路径所围的空间内φ(x)是单值的，并且不变为无穷。这是一个很美丽的定理，它的证明并不难，我将在一个适当的机会给出这证明。
【代数基本定理零点定理证明】但是，高斯从未回过头来继续讨论这个问题和重积分中的积分顺序问题，反而成为柯西在复分析领域的出发点。高斯1816 年对代数基本定理的纯解析证明篇幅较短，但是理清高斯发现这一解法的思路是很困难的，一些数学家对高斯的思想过程做出猜测，发现高斯证明的关键点在于对多值函数的研究，利用拉梅已证明的一个定理，对函数y提供一种新构造方法。