2、 我的建议的基本思想要回归到德国数学家F. 克莱因(Felix Klein) 。在19世纪后半叶 ， F. 克莱因在几何基础中做出了相当严肃的工作 ， 对该领域后来的研究产生了巨大的影响 。②吸引他的一个问题是区分各种几何体系、各种几何理论中讨论的概念 ， 比如普通欧氏几何、仿射几何和拓扑学 。我将尝试把他的方法扩展到几何学之外 ， 还把这种方法应用到逻辑学 。我倾向于相信 ， 同样的思想还可以扩展到其他科学 。据我所知 ， 至今还没有人尝试这样做 ， 但是或许可以运用克莱因的想法 ， 阐述一些合理的建议 ， 用于区分生物学概念、物理学概念与化学概念 。
现在让我试着向你们非常简要地解释克莱因的思想 。克莱因的思想基于“变换”这个技术性的名词 ， 而这个词又是每个人都熟知的、来自高中数学的另一个名词——“函数”的特例 。我们都知道 ， 一个函数或者函数性关系是一个具有如下性质的二元关系r ， 无论考虑什么样的对象x ， 至多存在一个对象y 使得x 与y 具有关系r。这些使这样一个y 存在的x 称为“自变量值” 。对应的y称为“函数值” 。我们也写成y=r(x)；这就是通常的函数记号 。自变量值的集合称为“函数的定义域” ， 函数值的集合在《数学原理》中称为该函数的“反域”(counter-domain) ， 更常见的叫法是“值域”(range) 。所以 ， 每个函数都有定义域和值域 。数学中经常处理由数构成定义域和值域的函数 。然而 ， 还有其他类型的函数 。比如可以考虑由点构成定义域和值域的函数 。特别地 ， 在几何学中 ， 我们处理定义域与值域均与整个几何空间重合的函数 。这样的函数被看作几何空间到自身的“变换” 。此外 ， 我们还常常处理一些1?1函数 ， 这些函数具有如下性质：对任何两个不同的自变量值 ， 对应的函数值总是不同的 。我们便说这样的函数在其定义域和值域之间建立了一一对应关系 。因此 ， 定义域和值域均与整个空间重合的1－1函数称为几何空间到自身的一一变换(更简单地称为“变换”) 。现在开始讨论普通几何空间的变换 。
接着让我们考虑我们高中就熟知的普通欧氏几何 。这门几何学最初是一门经验科学——其目的在于研究我们周围的世界 。这个世界充斥着各种物理对象 ， 尤其是刚性物体 ， 刚性物体的一个特征是它们在移动时不改变形状 。这样一个刚性物体的每一次运动都对应于某种变换 ， 因为一个刚性物体在开始移动时占据一个位置 ， 而作为该运动的结果它又占据另外一个位置 。这个刚性物体在运动开始占据的每一个点都对应同一物体在运动终止之时占据的一个点 。于是便有了一个函数性关系 。这确实不是一个其定义域包含空间中所有点的函数性关系 ， 但是由几何学可知 ， 它总是可以扩展到整个空间 。现在 ， 这个变换的典型特征是两点之间的距离不变 。如果x和y有一定的距离 ， 而f(x) 和f(y) 是对应于x 和y 的终点 ， 那么f(x) 和f(y)之间的距离等于x 和y 之间的距离 。我们称距离对这个变换保持不变 。这是刚性物体的运动特性——要是它不成立 ， 我们便不会称这个物体为刚性物体 。
正如你们看到的那样 ， 在几何学中我们很自然来考虑这个空间中的一种特殊变换 ， 也就是不改变点之间的距离的变换 。数学家有一个坏习惯 ， 从其他领域——物理学、人类学等等借用一个词 ， 赋予它一种相关而不同的意义 。对“运动”这个词他们已然这样做了 。他们在数学意义上使用“运动”这个词 ， 在这种意义上 ， 它只是表示距离不变的变换 。因而一个特殊的物理对象、一个刚性物体的运动导致某种变换；但是对于数学家来说 ， 运动只不过是不改变距离的变换 。这样的变换更恰当地称为“等距变换”(isometric transformation) 。
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