另一方面 ， 可从反方向入手；不是缩小可容许变换的类的范围并以这种方式拓宽不变性概念的类的范围 ， 而是做相反的事情 ， 拓宽变换类 。比如 ， 我们还可以增加距离可变的变换 ， 但是不变的东西是点彼此之间的线性位置 。更确切地说 ， 如果3个点在一条直线上 ， 那么它们经过变换之后的像也在一条直线上 。如果一个点位于其他两个点之间 ， 那么它的像也位于其他两点的像之间 。有人称这样的变换为“仿射变换” 。共线性(coilinearity)和居间性(betweeness)恰好是两个对所有这类变换保持不变的概念 。使用这样的概念的几何学分支称为仿射几何学 。④在这门几何学中 ， 我们无法区分一些东西 ， 比如一条线段与另一条线段 ， 实际上我们无法在三角形中作出任何区分 。这样说来 ， 任何两个三角形都是相等的 ， 也就是说 ， 从仿射几何学的观点看是不可区分的 。这意味着 ， 在仿射几何学中 ， 我们无法指出任何一种性质 ， 它为某一个三角形所具有 ， 而不为所有其他三角形所具有 。在度量几何学中 ， 我们知道许多这样的性质 ， 例如等边性、直角性 。在仿射几何学中 ， 我们无法作出任何这样的区分 。我们所能区分的 ， 乃是把三角形与四边形区分开 ， 因为不存在仿射变换可以从一个三角形出发而得出一个四边形 。因此 ， 这里我们有了一个更宽范围的变换类的例子 ， 这致使我们也有了一个更窄范围的概念类的例子 ， 这些概念都对这个较宽范围的变换类保持不变；概念越少 ， 特征更“一般” 。
我们再往前走一步 。比如 ， 我们可以增加一些甚至不保存居间性关系的变换 ， 甚至增加一些把位于同一条直线上的点变成位于不同直线上的点的变换 。粗略地说 ， 这里被保持的典型事物就是联通性或者封闭性 。联通了的图仍是联通的 。封闭了的曲线仍是封闭的 。从“负面”角度看事物 ， 有时候人们说 ， 这些变换就是那些不“打碎”或“撕裂”的变换 。这是一种非常不精确的表述方式 ， 但是你们中有些人大概已经猜到我在想什么；我在想所谓的连续变换 ， 这部分几何学 ， 亦即处理对这些变换保持不变的概念的几何学 ， 就是拓扑学 。在度量几何学中 ， 可以把一个三角形与另外一个三角形区别开；在仿射几何学中无法做到这一点 ， 但仍然可以把一个三角形和一个(比如说)四边形区分开 。而在拓扑学中 ， 我们无法在两个多边形之间作出区分 ， 甚至在一个多边形和一个圆之间也无法区分 ， 因为给定一个多边形 ， 如果我们想象它由金属丝制成 ， 那么总可以把它弯成一个圆或者任意其他多边形 。这样的变换是连续的：任何联通的东西不分离出来 。在拓扑学中可以区分一些东西 ， 比如说 ， 把一个三角形从两个三角形区分出来 。因为如果一根三角形的金属丝可以弯曲成两个三角形 ， 那么就把它分裂为两部分 ， 每个三角形从一部分得到——这就不会是连续变换 。
3、 现在假设我们继续思考这一点 ， 还考虑更宽范围的变换类 。在极端的情形中 ， 我们会考虑空间、论域或者“世界”到自身的所有一一变换组成的类 。处理对这个最宽范围的变换类保持不变的概念的科学将是哪一门科学呢？这里只有非常少的概念 ， 所有这些概念都具有非常一般性的特征 。我认为 ， 它们就是逻辑概念 ， 称一个概念是“逻辑的” ， 如果它对世界到自身的所有可能的一一变换都保持不变 。⑤这样的提议或许听起来有些奇怪——看它是否合理的唯一方式便是讨论它的某些推论 ， 看它会导致什么样的结果 ， 若我们同意在这种意义上使用“逻辑的”这个词 ， 就必须相信这些结果 。
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