一个自然的问题是这样的：考虑在现有的任何逻辑系统(比如《数学原理》)中可定义的语词所指的概念 。在《数学原理》中定义的概念都是我提议的那种意义上的逻辑概念吗？回答是肯定的；这是一个很简单的元逻辑结果 ， 很久以前(1936年)林登堡姆和我就在一篇短文中进行了阐述 。虽然这个结果是简单的 ， 但是我依然认为大多数逻辑教科书应该包含这个结果 ， 因为它显示了逻辑手段所能表达的事物的一种特性 。我不会用非常精确的方式表述这个结果 ， 但是它的本质恰如我刚才所言 。《数学原理》中定义的每个概念 ， 对任何其他常见的逻辑系统中的那些东西 ， 对“世界”或“论域”到自身的每个一一变换都是保持不变的 。⑥
下面我们系统地寻找逻辑概念的例子 ， 从最简单的语义范畴⑦或类型开始 ， 逐步达到越来越复杂的范畴或类型 。比如 ， 我们可以从个体、从最低类型的对象开始 ， 并且问下面这个问题：个体中的逻辑概念的例子有哪些？我的意思是：哪些个体的例子在上述意义上是逻辑的？答案很简单：不存在这样的例子 。不存在这种类型的逻辑概念 ， 这仅仅是因为我们总能找到世界到自身的一个变换 ， 其中一个个体变换成另一个个体 。我们总可以定义这样一个函数 ， 这个简单事实意味着在这个层次上不存在逻辑概念 。
如果我们进入下一个层次 ， 到达个体的类 ， 我们问：个体的类有哪些在这种意义上是逻辑概念？依然由一个简单论证便得出结论 ， 恰有两个个体类是逻辑概念 ， 即全域类和空类 。只有这两个类才是对论域到自身的每个变换保持不变的个体类 。
如果我们再进一步并考虑二元关系 ， 简单论证即可表明 ， 只有4个二元关系在这种意义上是逻辑概念：总是在任意两个对象之间成立的全域关系 ， 绝不会成立的空关系 ， 当“两个”对象相等时只在它们之间成立的恒等关系 ， 以及与它相反的多样性关系 。因此 ， 全域关系、空关系、恒等关系以及多样性关系 ， 这四者是个体之间仅有的逻辑的二元关系 。这一点很有趣 ， 因为皮尔士、施罗德和其他19世纪的逻辑学家在关系理论中恰好引入和讨论了这4种关系 。如果你考虑三元关系、四元关系等等 ， 情况也是类似的：对于这些关系中的每一种关系 ， 你都将有少量的有穷多个逻辑关系 。
如果你再进入下一个层次 ， 考虑类的类 ， 情况变得更有趣一些 。我们不说“类的类” ， 而说“类的性质” ， 并且问：类的哪些性质是逻辑概念？答案仍旧很简单 ， 尽管十分难以精确地阐述 。可以证明 ， (个体的)类的性质中只有与这些类中元素的数目有关的性质才是逻辑概念 。一个类由3个元素组成 ， 或者由4个元素组成……这个类是有穷的 ， 或者一个类是无穷的——这些都是逻辑概念 ， 而且本质上是这个层次中仅有的逻辑概念 。
在我看来 ， 这个结果相当有趣 ， 因为在19世纪 ， 有一些关于我们的逻辑是外延的逻辑还是内涵的逻辑的讨论 。人们说过多次 ， 尤其是数理逻辑学家说过多次 ， 我们的逻辑确实是外延的逻辑 。⑧这意味着 ， 如果两个概念有相同的外延 ， 便不能从逻辑上加以区分 ， 即使它们的内涵不同 。正如通常所认为的那样 ， 我们不能从逻辑上区分性质和类 。现在根据我们的建议 ， 可以证明我们的逻辑甚至比外延的逻辑还要少 ， 它是数的逻辑、数字关系的逻辑 。如果两个类中每个类恰有两个个体 ， 我们便不能从逻辑上区分它们 ， 因为如果你有两个类 ， 每个类都由两个个体组成 ， 你总能找到论域的一个变换 ， 在这个变换下 ， 一个类变换为另外一个类 。每一项属于两个个体组成的一个类的逻辑性质 ， 都属于恰好包含两个个体的每一个类 。
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