量子力学之路开普勒第二定律证明( 四 ) _云知道

你怎么知道它是一个乘积的时间导数的？
求解微分方程，首先要猜测解的形式，看看能不能解出来。如果不能，再另一种形式。令人恼火的是，许多关于微分方程的课程（资源）只给出了可行的猜测，这就给人制造了一种错觉，以为某些作者（编者）一下知道了解的形式。现实中，他们尝试了各种形式的函数，直到得出正确的解。
角动量守恒
我们要加一个常数，但应该加什么常数呢？在本文的前面，我提到了角动量，但没有计算它。现在计算它，得到

角动量等于质量乘以ρ^2φ '（在z方向上）。因此，C=L/m 。此外，角方程还可以帮助我们解径向方程

要清楚的是，我们还没有解出角方程，但是我们可以用它来去掉径向方程中的一些烦人的因素。
开普勒第二定律
在讨论径向方程之前，我们先来推导一下开普勒第二定律。我们知道函数ρ(φ)在两个角度φ_1和φ_2之间的面积是

让τ表示它达到φ_1和达到φ_的时间间隔。如果我们做u代换，有

从角方程，我们知道ρ^2φ ' = L/m，所以可以把它代入积分

注意，除了从一个角度到另一个角度所需的时间是τ外，我们没有对这两个角度做任何说明，这就证明了开普勒第二定律。
径向方程
把角方程的解代入得到

这个方程和伯努利微分方程很相似。非线性项的二阶导数会引入无法抵消的项。为了解决这个问题，我们将放弃寻找ρ(t)和φ(t)的封闭解，而尝试寻找它所走的路径，ρ(φ) 。
追踪路径vs.位置的时间函数
为了强调这一区别，我们可以考虑一些以不同方式在赛道上前进的人：
开赛车，骑自行车，步行，在赛道上走了一半，然后转身，所有这些都可以有不同的ρ(t)和φ(t)，但它们都有相同的ρ(φ) 。同样地，只要知道ρ(φ)，太阳系中的行星和其他天体就有可能以随机的速度运动，旋转，甚至是瞬移，只要它们一直在轨道上。为了确定行星的运动方式，我们还需要φ(t)，这可以从角方程中得到，目前还没有解出来。
伯努利方程
在伯努利方程中，我们会猜想ρ(t)是α(t)的幂

如果求一阶导数

这个表达式看起来没什么问题，我们来求二阶导数

正如你所看到的，有一个导数的平方，它阻止了我们求出闭合解。我们还没有设n的值，所以看看是否可以将它设为某个值，以去掉平方导数。如果n = 0或n = 1，就可以消去平方导数，但也会把有用的东西消去。我们注意到平方导数来自于一阶导数中的α项，所以看看能不能去掉它。我们用链式法则把dα/dt写成(dα/dφ) (dφ/dt) 。从角方程，我们知道dφ/dt = L/(m ρ^2)，从α的定义，有