现在，我们可以求二阶导数
我们用了和上面一样的技巧，把所有东西都写成φ的形式 。把这个方程和α的定义代入径向方程，得到
该微分方程是一个标准的二阶线性微分方程，我们可以用多种方法求解 。这篇文章已经很长了，我们直接写出解
选择坐标轴
前面提到过，在得到解之前，x轴和y轴并不参与计算，我选择它们使sin项消失而cos项保留 。这样，我得到了α(φ)的一个更简单的方程
我们要找的不是α(φ)而是ρ(φ)，根据α的定义，有
可以把它提出来，得到一个焦点在原点的圆锥曲线的标准形式 。
圆锥曲线是通过切割圆锥得到的形状
圆（ε = 0）椭圆（0 < ε < 1）抛物线（ε = 1）双曲线（ε > 1）特别值得注意的是椭圆 。请注意，抛物线和双曲线都将走向无穷远，所以任何沿着抛物线或双曲线轨道运行的物体都不会留在太阳系中 。然而，这些行星仍然存在于太阳系中，这意味着它们要么是圆形，要么是椭圆形 。因为圆只能在ε的一个值出现，所以几乎肯定会得到一个有界轨道的椭圆 。换句话说，我们已经证明了开普勒第一定律 。
位置作为时间函数的闭合解
【量子力学之路 开普勒第二定律证明】我们可以把ρ(φ)代入角方程得到
这个方程的解至少需要，椭圆积分 。你不会从这个方程中得到一个封闭的解 。
轨道的特点
现在，我们来计算一些关于轨道的事实 。我们想知道一些有用的信息，比如两个物体之间轨道的最远点和最近点 。我可以看到最大值和最小值出现在
半长轴和半短轴
对于椭圆轨道，我们也可以计算半长轴和半短轴，你可以把它们想象成椭圆的两个半径 。
从这些轴，我们可以用一个简单的公式来计算椭圆的面积：
在偏心率为0的极限情况下，得到了一个圆 。
动量守恒
太阳静止的假设导致动量守恒的一些问题 。绕轨道运行的物体会改变它的速度，而“太阳是静止的”，这就意味着动量不守恒 。为了保证动量守恒，我们需要太阳移动 。如果我们从距离矢量q = s_1- s_2开始，求它的二阶时间导数，有
从这一点开始，M和m是两个物体的质量 。从第三行到第四行，使用了牛顿第三定律 。这和开始时的方程大致相同，但是减少了质量μ 。我们也可以看看总动量如何随时间变化，
根据牛顿第三定律，它是守恒的 。如果我们定义空间中的一个新点
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