0.483 5…
和
0.990 7…
我们可以通过融合这两个数字 ， 获知其在线段上的“对应点”是：
0.498 930 57…
显然这个过程建立了一一对应的关系 。线段上的每一点都有它在正方形里的对应点，正方形里的每一点也有它在线段上的对应点，没有剩余的点 。根据康托尔的准则 ， 正方形里的点的个数的无穷大数与线段上的点的个数的无穷大数是相等的 。
通过类似的方式我们也能轻易证明，表示一个立方体里的点的个数的无穷大数与表示正方形里的点的个数的无穷大数，或者表示线段上的点的个数的无穷大数是一样多的 。为证明这点，我们只需要把原来的小数分成三个部分[16]，然后用这三个新的小数来描述正方体里的“对应点”的位置 。
另外，和两条不同长度的线段上的点的数量相同的情况一样，不同尺寸的正方形和立方体里的点的数目也是一样的，无论它们有多大 。
然而 ， 所有几何点的数目，尽管它们比整数和分数的数目大，但并不是数学家已知的最大的无穷大数 。事实上数学家发现，所有曲线的样式的数量总和 ， 包括那些最奇异的形状，是比几何点的总数更大的“社群”，因此它们必须要用第三级的无穷数列来表示 。
乔治·康托尔——“无穷大算数”的创造者，将无穷大数用希伯来字母N [读作阿莱夫（Alef）]表示，在其右下角标注一个数字表示无穷大的等级 。如此一来，数列（包括无穷大数）的表示形式便是这样的：
1，2，3 ， 4，5，…，N1，N2，N3 ， …
我们说“一条线上有N1个点”，或者说“有N2种不同的曲线”，正像我们说“世界有7大洲”或“一盒扑克牌有52张”[17]一样 。
在总结关于无穷大的讨论之时，我们需要指出只要几个等级就能涵盖我们能想到的一切无穷大的情况 。我们知道N0表示所有整数和分数的数目，N1表示所有几何点的数目 ， N2表示所有曲线样式的数目，但迄今为止还没有人想到任何能用N3表示的确切的无穷大物体的集合（图8） 。
已有的三个无穷大看似已经足以计数所有我们能想到的无限多的物体，并且我们发现，我们已经完全不像我们的老朋友霍屯督人那样了——他们甚至连第四个儿子都数不出来！
[1] 这个论据有另一个属于同一系列的故事的支持：一群匈牙利贵族在攀爬阿尔卑斯山的过程中迷路了 。其中一个拿出一张地图 ， 在研究了很久之后表示，“我知道我们在哪儿了！”“哪儿？”其他人问 。“看见那座大山了吗？我们就在山顶上！”
[2] 霍屯督人（Hottentots），南部非洲的种族集团 。自称科伊科伊人 。主要分布在纳米比亚、博茨瓦纳和南非（译注） 。
[3] 本书多处使用“英寸”“英尺”“英里”“磅”等英制单位，为保留原数据的整数情况，同时也考虑到读者的阅读体验，所以没有进行单位换算 。1英寸=2.54厘米 ， 1英尺=3.048分米 ， 1英里=1.609千米，1磅=0.45千克（编注） 。
[4] 叙拉古，西西里岛东海岸城市（译注） 。
[5] 一个希腊的“体育场”的长度是606英尺6英寸或188米 。
[6] 用我们的计数法表示：
一千万 第二阶 第三阶 第四阶
10 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000×
第五阶 第六阶 第七阶 第八阶
100 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000
或简写为：1063（1后面63个0） 。
[7] 聪明的宰相要求的麦粒的数目可以表示为如下的形式：1+2+22+23+24+…+262+263 。
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